lnx的不定积分是什么（功能强大的不定积分公式盘点）

如何求不定积分∫x^a*(lnx)^ndx, n∈N*, a≠0或-1?

通过探究这个问题，就可以得到一个不定积分公式，它是甚至老黄前面分享过的另一个不定积分公式的。下面直接运用：

解：记t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt,【换元积分法的应用】

原积分=∫t^n*e^((a+1)t)dt=∑(i=0->n)(-1)^i*n!/((n-i)!*(a+1)^(i+1))*t^(n-i)e^((a+1)t)+C【老黄前面推导出来的公式，这里称之为公式(1)，形式上有所改变，实质不变，你可以从《老黄学高数》系统视频第254讲中找到这个公式的推导过程.】

=∑(i=0->)(-1)^i*n!/((n-i)!(a+1)^(i+1) )x^(a+1)*(lnx)^(n-i)+C.【这是一个新的公式，这里称之为公式(2)】

运用例题和练习来见证它的强大功能。例1老黄会用三种解法给大家做一个比较。

例1：求∫x^3*(lnx)^2dx.

解1：记t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt；【先应用最普通的方法，需要运用两次分部积分公式】

原积分=∫t^2*e^(4t)dx

=1/4*∫t^2*de^(4t)=1/4*t^2e^(4t)-1/8*∫e^(4t)dt^2=1/4*t^2*e^(4t)-1/8*∫te^(4t)dt【运用了一次分部积分公式】

=1/4*t^2*e^(4t)-1/8*∫tde^(4t)=1/4*t^2*e^*(4t)-1/8*te^(4t)+1/8*∫e^(4t)dt【又运用了一次分部积分公式】

=1/4*t^2*e^(4t)-1/8*te^(4t)+1/32*e^(4t)+C【需要特别注意系数的变化，特别是符号上非常容易搞错】

=1/4*x^4(lnx)^2-1/8*x^4*lnx+x^4/32+C. 【最后还要恢复成关于x的形式】

解2：记t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt；【第二种解法仍基于换元法】

原积分=∫t^2*e^(4t)dx=∑(i=0->2)(-1)^i∙2!/((2-i)!∙4^(i+1))t^(2-i)e^(4t)+C.【这是公式(1)的运用】

=1/4*t^2e^*(4t)-1/8*te^(4t)+1/32*e^(4t)+C【可以选择不展开公式，直接在公式中把x换回来】

=1/4*x^4(lnx)^2-1/8*x^4*lnx+x^4/32+C. 【这里坚持写出最后的形式，是为了和解法1做比较】

解3：原积分=∑(i=0->2)(-1)^i∙2!/((2-i)!∙4^(i+1))*x^4*(lnx)^(2-i)+C

=1/4*x^4(lnx)^2-1/8*x^4*lnx+x^4/32+C.【瞧，直接运用公式(2)多简便】

如果你觉得这道例题还看不出公式功能的强大，就看第二道例题，不用公式你可以解解看。

例2：求∫(lnx)^777/√(x^3)dx. 【一般方法解到天荒地老都解不出来】

解：a=-3/2, n=777.【当题目复杂时，先明确两个参数】

原积分=∑(i=0->777)(-1)^i∙777! )/((777-i)!∙(-1/2)^(i+1))∙x^(-1/2)∙(lnx)^(777-i)+C

=-∑(i=0->777)(2^(i+1)∙777!∙(lnx)^(777-i))/((777-i)!∙√x))+C.

最后看一道练习，答案直接给图片：

练习：求∫x^5(ln(2x))^2dx.

解法一其实并不好，但老黄探究过程中用到的，还是分享一下。结果是可以化简的，但用解法二直接就化简了，而且还能推出一个更好用的公式，算是公式(2)的进化版。

数学探究真是一件非常有趣的事情。像小编这么笨笨的人，入了门，都能玩出许多花来。你这么聪明，不进来玩数学，真是暴殓天物啊！